Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral e^x sen x d x Resp : e^x sen x2-e^x cos x2+c

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
A escolha de e é importante para simplificar a integral após aplicar a fórmula.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^x sin x , dx = e^x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot e^x , dx
Simplificando:
= -e^x cos x + integral e^x cos x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral e^x sin x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Substituindo de volta na equação anterior:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + ( e^x sin x - integral e^x sin x , dx )
Vamos chamar I = -e^x cos x + e^x sin x - I de 2I = e^x sin x - e^x cos x :
I = e^x sin x2 - e^x cos x2 + C
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:

Resposta

integral e^x sin x , dx = e^x sin x2 - e^x cos x2 + C

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