Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
integral ln (2 x)x d x Resp.: 12 ln ^2(2 x)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por substituição. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, e vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observamos que temos u = ln(2x) na integral. Vamos chamar essa expressão de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = ddx ln(2x) em relação a dudx = 12x times 2 = 1x para substituirmos na integral. Calculando a derivada de du = 1x , dx :
Usando a regra da cadeia:
Então,

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de ln(2x)x , dx = u cdot du e integral u , du . Sabemos que:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

A integral de integral u , du = u^22 + C é mais simples de resolver. Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original u^22 + C = (ln(2x))^22 + C substituindo por :

Resposta

A integral 12 ln^2(2x) + C é igual a:

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