Resolva a integral através do método das frações parciais integral 4 xx^2-3 x+2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é super útil quando temos uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, a fatoração fica:
integral 4x(x - 1)(x - 2) , dx
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos decompor a fração 4x(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2 em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Para achar 4x = A(x - 2) + B(x - 1) e 4(2) = A(2 - 2) + B(2 - 1) implies 8 = 0 + B(1) implies B = 8 , vamos multiplicar ambos os lados por 4(1) = A(1 - 2) + B(1 - 1) implies 4 = -A + 0 implies A = -4 para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, e .

Passo 5

Agora que temos 4x(x - 1)(x - 2) = -4x - 1 + 8x - 2 e integral ( -4x - 1 + 8x - 2 ) , dx , a fração original fica:
A integral fica então:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral -4x - 1 , dx = -4 ln|x - 1| , temos:
integral 8x - 2 , dx = 8 ln|x - 2|
-4 ln|x - 1| + 8 ln|x - 2| + C
Juntando tudo:

Resposta

A integral -4 ln|x - 1| + 8 ln|x - 2| + C é igual a:

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