Resolva a integral através do método das frações parciais .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é super útil quando temos uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, a fatoração fica:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Para achar e , vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, e .

Passo 5

Agora que temos e , a fração original fica:
A integral fica então:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que , temos:
Juntando tudo:

Resposta

A integral é igual a:

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