Resolva as seguintes integrais:
integral arctg(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arctg(2 x) , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração de funções que envolvem a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a e . Vamos fazer:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx arctg(2x) , dx = 21 + (2x)^2 , dx = 21 + 4x^2 , dx e v = integral dx = x :
  • Para encontrar , derivamos em relação a :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctg(2x) , dx = u , v - integral v , du = x cdot arctg(2x) - integral x cdot 21 + 4x^2 , dx
Então, agora temos uma nova integral para resolver:

Passo 5

Para resolver w = 1 + 4x^2 dwdx = 8x Rightarrow dw8 = x , dx , vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
2x , dx = dw4
Mas vemos que temos integral 2x1 + 4x^2 , dx = integral 1w cdot dw4 = 14 integral 1w , dw = 14 ln|w| + C = 14 ln(1 + 4x^2) + C na integral, então ajustamos:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arctg(2x) , dx = x cdot arctg(2x) - ( 14 ln(1 + 4x^2) ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de arctg(2x) em relação a integral arctg(2x) , dx = x cdot arctg(2x) - 14 ln(1 + 4x^2) + C é:
Onde é a constante de integração.

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