Resolva as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração de funções que envolvem a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a e . Vamos fazer:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Para encontrar , derivamos em relação a :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Então, agora temos uma nova integral para resolver:

Passo 5

Para resolver , vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Mas vemos que temos na integral, então ajustamos:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais:
Sabendo que a função satisfaz a igualdade
determinar .
Resolva as seguintes integrais:
Resolva a integral através do método das frações parciais .