Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração de funções que envolvem a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a
e
. Vamos fazer:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Para encontrar
, derivamos em relação a :
- Para encontrar
, integramos :
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Então, agora temos uma nova integral para resolver:
Passo 5
Para resolver
, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Mas vemos que temos
na integral, então ajustamos:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais:
Sabendo que a função
satisfaz a igualdade
determinar
.
Resolva as seguintes integrais:
Resolva a integral através do método das frações parciais
.