1^ a ) Resolva a integral indefinida:
b) integral d xraizx^2+8 x+15

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dxraizx^2+8x+15. Essa questão envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais que têm expressões quadráticas dentro da raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado da expressão dentro da raiz e usar uma fórmula de integração específica para esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado. Isso ajuda a transformar a expressão em uma forma que seja mais fácil de integrar. A expressão que temos é x^2 + 8x + 15.

Passo 3

Para completar o quadrado de x^2 + 8x + 15, pegamos o coeficiente de x, que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(82)^2 = 16
Agora, reescrevemos a expressão adicionando e subtraindo esse valor:
x^2 + 8x + 16 - 1 = (x + 4)^2 - 1
Então, a expressão dentro da raiz fica:
raiz(x + 4)^2 - 1

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral dxraiz(x + 4)^2 - 1
Essa é uma forma padrão que podemos integrar usando a fórmula:
integral duraizu^2 - a^2 = ln|u + raizu^2 - a^2| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a fórmula, identificamos que u = x + 4 e a^2 = 1, então a = 1. Substituindo na fórmula:
ln|x + 4 + raiz(x + 4)^2 - 1| + C

Resposta

A integral indefinida é:
ln|x + 4 + raiz(x + 4)^2 - 1| + C

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