Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC(3 y-e^sen(x)) d x+(7 x+raizy^4+1) d y, C é o círculo x^2+y^2=9;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente vai transformar uma integral ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No nosso caso, a curva é o círculo , que tem raio 3. Para isso, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na integral e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = 3y - e^sin(x) e Q(x, y) = 7x + raizy^4 + 1 na integral dada:
Essas são as partes que estão multiplicando e respectivamente na integral.

Passo 3

Agora, vamos recordar o Teorema de Green, que nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, é a região delimitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( 7x + raizy^4 + 1 ) = 7 + 0 = 7 em relação a :
Porque a parte com não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 5

Agora, a derivada parcial de partial Ppartial y = partialpartial y ( 3y - e^sin(x) ) = 3 - 0 = 3 em relação a :
Aqui, a parte com não depende de , então sua derivada em relação a também é zero.

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA = integral duplaD (7 - 3) , dA = integral duplaD 4 , dA
Então, a integral dupla simplifica para vezes a área da região .

Passo 7

Agora, vamos calcular a área da região Área = pi r^2 = pi (3)^2 = 9pi , que é um círculo de raio 3:
Á

Passo 8

Multiplicando a constante pela área:
4 times 9pi = 36pi

Resposta

A integral de linha vale .

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