Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o círculo ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente vai transformar uma integral ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No nosso caso, a curva é o círculo , que tem raio 3. Para isso, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na integral e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
Essas são as partes que estão multiplicando e respectivamente na integral.

Passo 3

Agora, vamos recordar o Teorema de Green, que nos diz que:
Aqui, é a região delimitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Porque a parte com não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, a parte com não depende de , então sua derivada em relação a também é zero.

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral dupla simplifica para vezes a área da região .

Passo 7

Agora, vamos calcular a área da região , que é um círculo de raio 3:
Á

Passo 8

Multiplicando a constante pela área:

Resposta

A integral de linha vale .

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b)
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