Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o círculo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente vai transformar uma integral ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No nosso caso, a curva
é o círculo
, que tem raio 3. Para isso, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
na integral e aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
Essas são as partes que estão multiplicando
e
respectivamente na integral.
Passo 3
Agora, vamos recordar o Teorema de Green, que nos diz que:
Aqui,
é a região delimitada pela curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Porque a parte com
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, a parte com
não depende de
, então sua derivada em relação a
também é zero.
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral dupla simplifica para
vezes a área da região
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a área da região
, que é um círculo de raio 3:
Passo 8
Multiplicando a constante pela área:
Resposta
A integral de linha vale
.
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