Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender algumas coisinhas sobre séries e como comparamos termos para chegar a uma conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma série convergir, os termos precisam tender a zero quando vai para o infinito. Olhando para a nossa série, temos .

Passo 3

Vamos ver o que acontece com quando cresce. A função cosseno oscila entre e para qualquer valor de . Isso significa que não tende a zero quando aumenta; pelo contrário, fica saltando entre esses valores.

Passo 4

Como não está tendendo a zero, já podemos suspeitar que a série não vai convergir. Mas vamos usar o Teste da Comparação para confirmar isso.

Passo 5

No Teste da Comparação, comparamos nossa série com outra cuja convergência ou divergência já sabemos. Vamos comparar com a série .

Passo 6

Sabemos que para todo , porque o cosseno nunca ultrapassa esses valores. Então, temos:

Passo 7

A série é uma série harmônica que diverge, ou seja, a soma cresce sem limites.

Passo 8

Como é menor ou igual a 1 e a série diverge, pelo Teste da Comparação, a série também diverge.

Passo 9

Já que a série dos valores absolutos diverge, podemos concluir que a série original não converge absolutamente. E, de fato, como os termos não tendem a zero, a série não converge de jeito nenhum.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
®
) Resolva a integral indefinida:
b)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(f)
(a) A série geométrica
( ) converge para