Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender algumas coisinhas sobre séries e como comparamos termos para chegar a uma conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma série
convergir, os termos
precisam tender a zero quando
vai para o infinito. Olhando para a nossa série, temos
.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com
quando
cresce. A função cosseno oscila entre
e
para qualquer valor de
. Isso significa que
não tende a zero quando
aumenta; pelo contrário, fica saltando entre esses valores.
Passo 4
Como
não está tendendo a zero, já podemos suspeitar que a série não vai convergir. Mas vamos usar o Teste da Comparação para confirmar isso.
Passo 5
No Teste da Comparação, comparamos nossa série com outra cuja convergência ou divergência já sabemos. Vamos comparar
com a série
.
Passo 6
Sabemos que
para todo
, porque o cosseno nunca ultrapassa esses valores. Então, temos:
Passo 7
A série
é uma série harmônica que diverge, ou seja, a soma cresce sem limites.
Passo 8
Como
é menor ou igual a 1 e a série
diverge, pelo Teste da Comparação, a série
também diverge.
Passo 9
Já que a série dos valores absolutos
diverge, podemos concluir que a série original
não converge absolutamente. E, de fato, como os termos não tendem a zero, a série não converge de jeito nenhum.
Resposta
A série
diverge.
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®
®
b)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(f)
(f)
(a) A série geométrica
( ) converge para
( ) converge para