Resolva as seguintes integrais:
integral0^1 x(x-1)^7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos:
integral0^1 x(x-1)^7 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integração definida envolvendo um polinômio. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição. Isso vai ajudar a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil. Vamos definir:
u = x - 1
Agora, precisamos encontrar du = dx em termos de u = 0 - 1 = -1 . Derivando ambos os lados em relação a u = 1 - 1 = 0 :
Também precisamos mudar os limites de integração para termos em vez de :
  • Quando :
  • Quando :
Então, nossos novos limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral0^1 x(x-1)^7 , dx = integral-1^0 (u + 1)u^7 , du :
Sabemos que (u + 1)u^7 = u^8 + u^7 (já que integral-1^0 u^8 + u^7 , du ), então substituindo na integral:
Agora, podemos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. u^99 + u^88 gr|-1^0
Então, a integral completa é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Primeiro, para 0^99 + 0^88 = 0 + 0 = 0 :
(-1)^99 + (-1)^88 = -19 + 18 = -19 + 18
Segundo, para -872 + 972 = 172 :
Vamos calcular :

Passo 6

Finalmente, subtraímos os valores encontrados nos limites:
0 - 172 = -172

Resposta

O valor da integral é .

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