Resolva os itens abaixo:
i) Indique se a série geométrica converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.
a) b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries geométricas! A gente precisa descobrir se cada uma das séries dadas converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar a fórmula da série geométrica e verificar a condição de convergência, que diz que a razão da série precisa ter valor absoluto menor que 1 ().
Passo 2
Item a)
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série.
Primeiro termo (): Quando ,
Razão (): A razão é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para chegar no próximo. Aqui,
Agora, vamos verificar a condição de convergência:
Como , a série converge.
Para encontrar a soma da série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:
Passo 3
Item b) a1 = (-1)^1 5^12^1 = -52
Vamos identificar o primeiro termo e a razão da série.
Primeiro termo ( r = (-1) times 52 = -52 ): Quando |r| = | -52 | = 2,5 > 1 ,
Razão (): A razão aqui é o fator que multiplica cada termo para chegar no próximo. Observando a expressão, temos:
Agora, vamos verificar a condição de convergência: