Resolva os itens abaixo:
i) Indique se a série geométrica converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.
a) sumk=0^infty 25^k b) sumk=1^infty (-1)^k 5^k2^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries geométricas! A gente precisa descobrir se cada uma das séries dadas converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar a fórmula da série geométrica e verificar a condição de convergência, que diz que a razão da série precisa ter valor absoluto menor que 1 ( ).

Passo 2

Item a) a1 = 25^0 = 21 = 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série.
  • Primeiro termo ( r = 15 ): Quando |r| = |15| = 0,2 < 1 ,
    S = a11 - r
  • Razão ( S = 21 - 15 = 245 = 2 times 54 = 104 = 2,5 ): A razão é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para chegar no próximo. Aqui,
Agora, vamos verificar a condição de convergência:
Como , a série converge.
Para encontrar a soma da série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:

Passo 3

Item b) a1 = (-1)^1 5^12^1 = -52
Vamos identificar o primeiro termo e a razão da série.
  • Primeiro termo ( r = (-1) times 52 = -52 ): Quando |r| = | -52 | = 2,5 > 1 ,
  • Razão ( ): A razão aqui é o fator que multiplica cada termo para chegar no próximo. Observando a expressão, temos:
Agora, vamos verificar a condição de convergência:
Como , a série diverge.

Resposta

a) A série converge e sua soma é .
b) A série diverge.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
y'' se y = x^2 - 1/x^2
Resolva os itens abaixo.
ii) Use o Teste da Razão para determinar se a série converge: sumk=1^infty k^26^k.
Use a derivação implicita para determinar y''
x^3 + y = a^3
Se s é a posição de um corpo móvel no instante t, ache tempo, posição e velocidade em cada momento em que a aceleração é nula. (Lembre-se a velocidade é a taxa com que a posição de um objeto se modifica com o tempo, e a aceleração é a taxa com que a velocidade se modifica pelo tempo).
s = 8 t^2 - 1/t