Seja
definida em
e suponha que exista
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício diz que temos uma função
definida em todos os números reais (
) e que existe um número positivo
tal que
para todo
. Queremos mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Aqui vamos usar conceitos de limites e desigualdades para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite
. Isso quer dizer que, à medida que
fica cada vez mais próximo de
,
fica cada vez mais próximo de
.
Passo 3
Agora, olhando para a desigualdade dada:
. Isso nos diz que a diferença entre
e
é limitada por
vezes o quadrado da distância entre
e
.
Passo 4
Sabemos que quando
se aproxima de
,
tende a zero. E como estamos elevando
ao quadrado,
também tende a zero, mas de forma ainda mais rápida.
Passo 5
Multiplicando esse valor por
(que é uma constante positiva), ainda teremos que
tende a zero quando
se aproxima de
. Ou seja,
está sendo limitado por algo que vai para zero.
Passo 6
Então, se
é menor ou igual a algo que vai para zero, isso implica que
também deve ir para zero.
Passo 7
Se
tende a zero, significa que
está se aproximando de
à medida que
se aproxima de
.
Resposta
Portanto,
.