Seja f definida em R e suponha que exista M>0 tal que |f(x)-f(a)| <= M|x-a|^2, para todo x. Mostre que lim x a f(x)=f(a).

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício diz que temos uma função definida em todos os números reais ( ) e que existe um número positivo tal que para todo . Queremos mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a .
Aqui vamos usar conceitos de limites e desigualdades para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite . Isso quer dizer que, à medida que fica cada vez mais próximo de , fica cada vez mais próximo de .

Passo 3

Agora, olhando para a desigualdade dada: . Isso nos diz que a diferença entre e é limitada por vezes o quadrado da distância entre e .

Passo 4

Sabemos que quando se aproxima de , tende a zero. E como estamos elevando ao quadrado, também tende a zero, mas de forma ainda mais rápida.

Passo 5

Multiplicando esse valor por (que é uma constante positiva), ainda teremos que tende a zero quando se aproxima de . Ou seja, está sendo limitado por algo que vai para zero.

Passo 6

Então, se é menor ou igual a algo que vai para zero, isso implica que também deve ir para zero.

Passo 7

Se tende a zero, significa que está se aproximando de à medida que se aproxima de .

Resposta

Portanto, .

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