Resolva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. O enunciado apresenta três equações que descrevem como as variáveis , e mudam com o tempo . O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que são ferramentas chave na resolução desses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso facilita bastante o processo. Nosso sistema é:
Podemos representar isso como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Subtraindo na diagonal de , temos:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Vamos resolver essa expressão para encontrar os valores de .

Passo 5

Resolvendo a equação característica detalhadamente:
Então:
Multiplicando:
Igualando a zero:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação cúbica.

Passo 6

Testando possíveis raízes racionais, tentamos :
Tente :
Agora, :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar a equação cúbica sabendo disso:
Agora, resolvemos :
Portanto, as raízes são:
Então, os autovalores são , e .

Passo 7

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Da terceira, .
Substituindo na primeira:
Escolhendo , temos e . Então:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equações, . Então, .
Substituindo na segunda:
Escolhendo , temos e . Então:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente da solução é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores.
Então, a solução geral é:
Onde , e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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