Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
a) lim t 0 raizt^2+9-3t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite:
lim t 0 raizt^2+9-3t^2
Esse exercício está lidando com limites e indeterminações na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão uma forma indefinida, tipo 0/0, quando substituímos o valor que o está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz0^2+9-30^2 = raiz9-30 = 3-30 = 00 na expressão:
Encontramos uma forma indeterminada, . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver indeterminações como essa é racionalizar o numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raizt^2+9-3t^2 times raizt^2+9+3raizt^2+9+3 = (raizt^2+9)^2 - 3^2t^2 (raizt^2+9+3) é .
Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador. Lembrando que (raizt^2+9)^2 - 3^2 = (t^2+9) - 9 = t^2 , então:
t^2t^2 (raizt^2+9+3) = 1raizt^2+9+3
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Agora, a expressão ficou bem mais simples:
1raizt^2+9+3
Podemos calcular o limite diretamente substituindo 1raiz0^2+9+3 = 1raiz9+3 = 13+3 = 16 :

Resposta

O limite é .

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