Resolva os limites: Enuncie o teorema do limite no infinito para funções racionais.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre limites de funções racionais no infinito. O que a gente precisa aqui é entender o teorema que explica como calcular o limite dessas funções quando tende ao infinito. Vamos precisar lembrar um pouco sobre funções racionais e como analisar seus comportamentos nas extremidades.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função racional é aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. Por exemplo:
onde e são polinômios.

Passo 3

Agora, para encontrar o limite dessa função quando vai para o infinito, a gente olha para os graus dos polinômios e . O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.

Passo 4

Dependendo de como esses graus se comparam, temos três casos diferentes:
  1. Grau de é maior que o de :
    Quando isso acontece, o limite vai para , dependendo dos coeficientes principais.
  2. Grau de é igual ao de :
    O limite será a razão dos coeficientes que acompanham o maior grau nos polinômios.
  3. Grau de é menor que o de :
    Aqui, o limite é zero.

Passo 5

Vamos detalhar o teorema:
Teorema do Limite no Infinito para Funções Racionais:
Seja , onde e são polinômios. Então:
  • Se o grau de for maior que o grau de , então:
  • Se os graus forem iguais, então:
    onde e são os coeficientes líderes de e , respectivamente.
  • Se o grau de for menor que o de , então:

Resposta

Então, resumindo, o teorema do limite no infinito para funções racionais nos diz que dependendo da relação entre os graus dos polinômios do numerador e denominador, o limite pode ser , uma constante (razoão dos coeficientes líderes) ou zero.

Exercícios relacionados

Resolva os limites: .
Resolva os limites: .
Resolva os limites: .
Resolva os limites: .