Resolva os limites: Enuncie o teorema do limite no infinito para funções racionais.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre limites de funções racionais no infinito. O que a gente precisa aqui é entender o teorema que explica como calcular o limite dessas funções quando
tende ao infinito. Vamos precisar lembrar um pouco sobre funções racionais e como analisar seus comportamentos nas extremidades.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função racional é aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. Por exemplo:
onde
e
são polinômios.
Passo 3
Agora, para encontrar o limite dessa função quando
vai para o infinito, a gente olha para os graus dos polinômios
e
. O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele.
Passo 4
Dependendo de como esses graus se comparam, temos três casos diferentes:
-
Grau de
é maior que o de :
Quando isso acontece, o limite vai para, dependendo dos coeficientes principais. -
Grau de
é igual ao de :
O limite será a razão dos coeficientes que acompanham o maior grau nos polinômios. -
Grau de
é menor que o de :
Aqui, o limite é zero.
Passo 5
Vamos detalhar o teorema:
Teorema do Limite no Infinito para Funções Racionais:
Seja
, onde
e
são polinômios. Então:
-
Se o grau de
for maior que o grau de , então: -
Se os graus forem iguais, então:onde
e são os coeficientes líderes de e , respectivamente. -
Se o grau de
for menor que o de , então:
Resposta
Então, resumindo, o teorema do limite no infinito para funções racionais nos diz que dependendo da relação entre os graus dos polinômios do numerador e denominador, o limite pode ser
, uma constante (razoão dos coeficientes líderes) ou zero.
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