Resolva os limites:
lim x 0 tan (3 x)sin (5 x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 tan (3 x)sin (5 x). Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar das aproximações de funções trigonométricas quando x está próximo de zero e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de senos e cossenos:
tan(3x) = sin(3x)cos(3x)
Então, o limite fica:
limx to 0 sin(3x)cos(3x)sin(5x) = limx to 0 sin(3x)sin(5x) cdot cos(3x)

Passo 3

Sabemos que quando x se aproxima de 0, cos(3x) se aproxima de cos(0) = 1. Portanto, podemos simplificar o limite:
limx to 0 sin(3x)sin(5x) cdot 1 = limx to 0 sin(3x)sin(5x)

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade dos limites que diz:
limx to 0 sin(kx)kx = 1
Isso significa que podemos reescrever o nosso limite multiplicando e dividindo por x:
limx to 0 sin(3x)3x cdot 5xsin(5x) cdot 35

Passo 5

Separando os limites, temos:
( limx to 0 sin(3x)3x ) cdot ( limx to 0 5xsin(5x) ) cdot 35
Sabemos que ambos os primeiros limites são iguais a 1, então:
1 cdot 1 cdot 35 = 35

Resposta

35

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