Resolva pelo método de variação de constantes
b) .

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos a equação diferencial e precisamos resolvê-la usando o método de variação das constantes. Isso faz parte das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que vamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação das constantes. Nesse método, a solução particular é assumida na forma:
Onde e são funções que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Com o Wronskiano calculado, podemos encontrar e usando as fórmulas do método de variação das constantes:

Passo 6

Agora, vamos integrar e para encontrar e :

Passo 7

Vamos simplificar as integrais:
Para :
Para :
Essas integrais envolvem identidades trigonométricas e técnicas de integração mais avançadas. Dependendo do nível do curso, pode ser necessário resolver essas integrais detalhadamente ou deixar a expressão em termos de integrais indefinidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
f)
Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
c) .
Resolver um sistema de equações diferenciais