Resolva pelo método de variação de constantes
b) y'' + 4y = 2 tg(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos a equação diferencial e precisamos resolvê-la usando o método de variação das constantes. Isso faz parte das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que vamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação das constantes. Nesse método, a solução particular é assumida na forma:
Onde e são funções que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Com o Wronskiano calculado, podemos encontrar e usando as fórmulas do método de variação das constantes:

Passo 6

Agora, vamos integrar e para encontrar e :

Passo 7

Vamos simplificar as integrais:
Para :
Para :
Essas integrais envolvem identidades trigonométricas e técnicas de integração mais avançadas. Dependendo do nível do curso, pode ser necessário resolver essas integrais detalhadamente ou deixar a expressão em termos de integrais indefinidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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