Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
c) .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial para resolver:
com as condições iniciais:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que permite a redução de ordem. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e aplicar técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
Isso significa que .

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar em termos de e suas derivadas. Derivando :

Passo 5

Agora, substituímos na equação original:
Simplificando:
O termo cancela, ficando:

Passo 6

A equação significa que é constante. Vamos chamar essa constante de :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução geral é:
onde é uma constante de integração.

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usamos :
Então, nossa solução fica:

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial . Primeiro, calculamos :
Aplicando :

Passo 10

Com e , a solução particular da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais e é:

Exercícios relacionados

Resolva pelo método de variação de constantes
b) .
Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
Resolver um sistema de equações diferenciais
Resolver um sistema de equações diferenciais
d)