Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
c)
.
c)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial para resolver:
com as condições iniciais:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que permite a redução de ordem. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e aplicar técnicas de integração apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
Isso significa que
.
Passo 4
Com essa substituição, precisamos encontrar
em termos de
e suas derivadas. Derivando
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação original:
Simplificando:
O termo
cancela, ficando:
Passo 6
A equação
significa que
é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução geral é:
onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usamos
:
Então, nossa solução fica:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
. Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Passo 10
Com
e
, a solução particular da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais
e
é:
Exercícios relacionados
Resolva pelo método de variação de constantes
b) .
b)
Verifique se as funções são linearmente dependentes?
a)
a)
Resolver um sistema de equações diferenciais
Resolver um sistema de equações diferenciais
d)
d)