Resolver um sistema de equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes e autovalores. Basicamente, vamos transformar o sistema em uma matriz, encontrar os autovalores dessa matriz e depois usar esses autovalores para encontrar as soluções para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso fica assim:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz
. Para isso, resolvemos o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Desenvolvendo:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um vetor próprio associado a
é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá as equações:
Então, um vetor próprio associado a
é:
Passo 6
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovalores e vetores próprios encontrados:
Aqui,
e
são constantes que seriam determinadas se tivéssemos condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
c) .
c)
Resolva pelo método de variação de constantes
b) .
b)
Resolver um sistema de equações diferenciais
d)
d)
Resolva as seguintes equações nao homogenias