Resolver um sistema de equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes e autovalores. Basicamente, vamos transformar o sistema em uma matriz, encontrar os autovalores dessa matriz e depois usar esses autovalores para encontrar as soluções para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso fica assim:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz . Para isso, resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Desenvolvendo:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso dá as equações:
Então, um vetor próprio associado a é:
Para :
Resolvemos :
Isso dá as equações:
Então, um vetor próprio associado a é:

Passo 6

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovalores e vetores próprios encontrados:
Aqui, e são constantes que seriam determinadas se tivéssemos condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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