Resolva as seguintes equações nao homogenias
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Observando o termo do lado direito, vemos que ele é
. Normalmente, tentamos uma solução da forma semelhante, mas precisamos verificar se
já está na solução da homogênea.
Passo 7
Como
já aparece na solução homogênea (
), para evitar duplicação, multiplicamos nossa hipótese por
. Além disso, como temos um polinômio de segundo grau (
), nossa hipótese será:
Onde
,
e
são constantes a serem determinados.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Isso envolve aplicar a regra do produto novamente e pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos o processo para encontrar
.
Passo 9
Depois de calcular
e
, substituímos
,
e
na equação original:
Isso nos dará uma equação que podemos resolver igualando os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
,
e
.
Passo 10
Após resolver as equações para
,
e
, obtemos a solução particular
. Então, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
,
são coeficientes determinados pela substituição na equação original.