Resolva as seguintes equações nao homogenias
d) y'' - 9 y' + 20 y = x^2 e^(4 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Observando o termo do lado direito, vemos que ele é . Normalmente, tentamos uma solução da forma semelhante, mas precisamos verificar se já está na solução da homogênea.

Passo 7

Como já aparece na solução homogênea ( ), para evitar duplicação, multiplicamos nossa hipótese por x. Além disso, como temos um polinômio de segundo grau ( x^2), nossa hipótese será:
Onde A, B e C são constantes a serem determinados.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):
Isso envolve aplicar a regra do produto novamente e pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos o processo para encontrar .

Passo 9

Depois de calcular e , substituímos , e na equação original:
Isso nos dará uma equação que podemos resolver igualando os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar A, B e C.

Passo 10

Após resolver as equações para A, B e C, obtemos a solução particular . Então, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e A, B, C são coeficientes determinados pela substituição na equação original.

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