Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Nosso objetivo é encontrar a solução geral para a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução homogênea (que resolve a equação sem o lado direito) e uma solução particular (que leva em conta o lado direito da equação).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea resolvendo a equação:
Para isso, montamos a equação característica associada:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Tentamos encontrar raízes reais. Testando
:
Não funcionou. Tentamos
:
Funcionou! Então,
é uma raiz. Podemos fatorar a equação:
Passo 4
Agora, resolvemos
:
Então, as raízes da equação característica são
,
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução homogênea:
Aqui,
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação original:
Vamos separar a solução particular em duas partes: uma para
e outra para
.
Passo 7
Primeiro, encontramos a solução particular para
. Assumimos uma forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 8
Agora, encontramos a solução particular para
. Assumimos uma forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Igualando aos termos do lado direito:
Para
:
Para
:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Portanto,
Passo 10
Agora, juntamos as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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, o cilindro
e os planos
.
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