Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Nosso objetivo é encontrar a solução geral para a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução homogênea (que resolve a equação sem o lado direito) e uma solução particular (que leva em conta o lado direito da equação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea resolvendo a equação:
Para isso, montamos a equação característica associada:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Tentamos encontrar raízes reais. Testando :
Não funcionou. Tentamos :
Funcionou! Então, é uma raiz. Podemos fatorar a equação:

Passo 4

Agora, resolvemos :
Então, as raízes da equação característica são , e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, escrevemos a solução homogênea:
Aqui, , e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação original:
Vamos separar a solução particular em duas partes: uma para e outra para .

Passo 7

Primeiro, encontramos a solução particular para . Assumimos uma forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então,

Passo 8

Agora, encontramos a solução particular para . Assumimos uma forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes de e :
Para :
Para :

Passo 9

Igualando aos termos do lado direito:
Para :
Para :
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Portanto,

Passo 10

Agora, juntamos as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

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