Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para o lado direito.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o lado direito da equação, que é:
Vamos dividir em duas partes: uma para
e outra para
.
Passo 6
Para a parte
, assumimos que a solução particular
tem a forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Substituindo
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Então:
Passo 8
Portanto, a solução particular para a parte
é:
Passo 9
Agora, para a parte
, assumimos que a solução particular
tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 10
Substituindo
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Igualando aos termos do lado direito:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 12
Portanto, a solução particular para a parte
é:
Passo 13
Agora, juntamos as soluções particulares:
Passo 14
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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, o cilindro
e os planos
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Nos seguintes exercícios, encontre
e
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