Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para o lado direito.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o lado direito da equação, que é:
Vamos dividir em duas partes: uma para e outra para .

Passo 6

Para a parte , assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Substituindo na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Então:

Passo 8

Portanto, a solução particular para a parte é:

Passo 9

Agora, para a parte , assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 10

Substituindo na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Igualando aos termos do lado direito:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 12

Portanto, a solução particular para a parte é:

Passo 13

Agora, juntamos as soluções particulares:

Passo 14

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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