Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que nos diz para assumir uma forma para
baseada na forma do termo não homogêneo.
Passo 7
O termo não homogêneo é
. Geralmente, para termos como
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
é um polinômio de grau igual ao polinômio multiplicador. Aqui,
e o polinômio é de grau 1 (porque temos
). Então, assumimos:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Substituindo
,
, e
na equação original:
Substituindo as expressões:
Passo 10
Simplificando termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 11
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Resolvendo o primeiro:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 14
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 15
Agora, calculamos a primeira derivada
:
Simplificando:
Aplicando
:
Passo 16
Temos o sistema de equações:
Somando as equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: