Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y'' - 2y' - 3y = 3x e^(2x) ; y(0) = 1, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde r é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que nos diz para assumir uma forma para baseada na forma do termo não homogêneo.

Passo 7

O termo não homogêneo é . Geralmente, para termos como , assumimos uma solução particular da forma:
Onde P(x) é um polinômio de grau igual ao polinômio multiplicador. Aqui, e o polinômio é de grau 1 (porque temos x). Então, assumimos:
Onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Substituindo , , e na equação original:
Substituindo as expressões:

Passo 10

Simplificando termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 11

Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Resolvendo o primeiro:
Substituindo A na segunda equação:

Passo 12

Então, a solução particular é:

Passo 13

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 14

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, calculamos y(0):
Então:

Passo 15

Agora, calculamos a primeira derivada :
Simplificando:
Aplicando :

Passo 16

Temos o sistema de equações:
Somando as equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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