Resolva as seguintes EDOs exatas.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial exata dada:
. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar a solução geral usando a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes
e
na nossa equação, onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 3
Agora, para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que ainda precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.