Resolva as seguintes EDOs exatas. 2xy dx + (1 + x^2) dy = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial exata dada: . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar a solução geral usando a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes e na nossa equação, onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 3

Agora, para encontrar a função potencial , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que ainda precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados