Resolva X^prime=[lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5] X+[c1 -1 2] e^4 t pelo método dos coeficientes a determinar.
Resp X=c1[l 1 0 0 ] e^t+c2[l 1 1 0 ] e^2 t+c3[l 1 2 2 ] e^5 t-e^4 t[c 32 72 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
X^prime=1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 X + 1 -1 2 e^4 t
Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
X^prime = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 X
Como a matriz é triangular, os autovalores são os elementos na diagonal: 1, 2 e 5. Isso nos dá as soluções fundamentais da forma e^lambda t multiplicadas por vetores próprios.

Passo 3

Encontramos os vetores próprios correspondentes a cada autovalor:
  • Para lambda = 1:
    v1 = 1 0 0
  • Para lambda = 2:
    v2 = 1 1 0
  • Para lambda = 5:
    v3 = 1 2 2

Passo 4

Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Xh = c1 1 0 0 e^t + c2 1 1 0 e^2t + c3 1 2 2 e^5t
Onde c1, c2 e c3 são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular Xp para a equação completa:
X^prime = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 X + 1 -1 2 e^4 t
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Xp = A B C e^4t
Onde A, B e C são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Derivando Xp:
Xp' = A B C 4 e^4t
Substituindo na equação original:
4 A B C e^4t = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 A B C e^4t + 1 -1 2 e^4t

Passo 7

Simplificando:
4 A B C = A + B + C 2B + 3C 5C + 1 -1 2
Isso resulta em um sistema de equações:
4A = A + B + C + 1 4B = 2B + 3C -1 4C = 5C + 2

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
4C = 5C + 2 Rightarrow -C = 2 Rightarrow C = -2
  1. Da segunda equação:
4B = 2B + 3(-2) -1 Rightarrow 4B = 2B -7 Rightarrow 2B = -7 Rightarrow B = -72
  1. Da primeira equação:
4A = A + (-72) + (-2) + 1 Rightarrow 4A = A - 72 -2 +1 Rightarrow 4A = A - 72 -1
3A = -92 Rightarrow A = -32

Passo 9

Assim, a solução particular é:
Xp = -32 -72 -2 e^4t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
X = c1 1 0 0 e^t + c2 1 1 0 e^2t + c3 1 2 2 e^5t - e^4t 32 72 2

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