Resolva pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Como a matriz é triangular, os autovalores são os elementos na diagonal: 1, 2 e 5. Isso nos dá as soluções fundamentais da forma multiplicadas por vetores próprios.

Passo 3

Encontramos os vetores próprios correspondentes a cada autovalor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde , e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Derivando :
Substituindo na equação original:

Passo 7

Simplificando:
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da primeira equação:

Passo 9

Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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