Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
X^prime = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 X
Como a matriz é triangular, os autovalores são os elementos na diagonal: 1, 2 e 5. Isso nos dá as soluções fundamentais da forma e^lambda t multiplicadas por vetores próprios.
Passo 3
Encontramos os vetores próprios correspondentes a cada autovalor:
Para lambda = 1:
v1 = 1 0 0
Para lambda = 2:
v2 = 1 1 0
Para lambda = 5:
v3 = 1 2 2
Passo 4
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Xh = c1 1 0 0 e^t + c2 1 1 0 e^2t + c3 1 2 2 e^5t
Onde c1, c2 e c3 são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular Xp para a equação completa: