Resolva pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Como a matriz é triangular, os autovalores são os elementos na diagonal: 1, 2 e 5. Isso nos dá as soluções fundamentais da forma multiplicadas por vetores próprios.
Passo 3
Encontramos os vetores próprios correspondentes a cada autovalor:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma: