Seja
a transformada inversa de Fourier da função
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Fourier de
é igual a
. O conteúdo aqui envolve transformadas de Fourier e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como a multiplicação pela função cosseno no domínio de frequência afeta a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das transformadas de Fourier: a transformada inversa de um produto de duas funções é a convolução das transformadas inversas dessas funções. Mas, nesse caso, vamos usar uma abordagem diferente usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Sabemos que
pode ser escrita usando a identidade de Euler:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da transformada inversa.
Passo 4
Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier a
:
Isso pode ser distribuído como:
Passo 5
Agora, usamos outra propriedade das transformadas de Fourier: a multiplicação por
no domínio de frequência corresponde a um deslocamento no domínio do tempo. Especificamente:
e
Passo 6
Substituindo essas expressões de volta na equação:
Resposta
Portanto, mostramos que