Seja a transformada inversa de Fourier da função . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Fourier de é igual a . O conteúdo aqui envolve transformadas de Fourier e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como a multiplicação pela função cosseno no domínio de frequência afeta a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das transformadas de Fourier: a transformada inversa de um produto de duas funções é a convolução das transformadas inversas dessas funções. Mas, nesse caso, vamos usar uma abordagem diferente usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Sabemos que pode ser escrita usando a identidade de Euler:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da transformada inversa.

Passo 4

Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier a :
Isso pode ser distribuído como:

Passo 5

Agora, usamos outra propriedade das transformadas de Fourier: a multiplicação por no domínio de frequência corresponde a um deslocamento no domínio do tempo. Especificamente:
e

Passo 6

Substituindo essas expressões de volta na equação:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Seja a equação
onde e são constantes positivas. Se a temperatura inicial é , calcule para .
Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier:
Esta variável (densidade) é uma variável quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
O histograma referente a esta variável está apresentado abaixo:
Nota-se que tais dados apresentam assimetria. Trata-se de uma assimetria à esquerda ou à direita?
Neste conjunto de dados, a média foi superior à mediana e à moda. Este comportamento está coerente com o tipo de assimetria observado?