Seja f(x) a transformada inversa de Fourier da função f'(omega). Mostre que
F^{-1}(f_hat(omega) cos(c omega)) = (f(x+c) + f(x-c)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Fourier de é igual a . O conteúdo aqui envolve transformadas de Fourier e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como a multiplicação pela função cosseno no domínio de frequência afeta a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das transformadas de Fourier: a transformada inversa de um produto de duas funções é a convolução das transformadas inversas dessas funções. Mas, nesse caso, vamos usar uma abordagem diferente usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Sabemos que pode ser escrita usando a identidade de Euler:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da transformada inversa.

Passo 4

Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier a :
Isso pode ser distribuído como:

Passo 5

Agora, usamos outra propriedade das transformadas de Fourier: a multiplicação por no domínio de frequência corresponde a um deslocamento no domínio do tempo. Especificamente:
e

Passo 6

Substituindo essas expressões de volta na equação:

Resposta

Portanto, mostramos que

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