Seja a equação
u_t - α^2 u_xx = -γ u
onde alpha e gamma são constantes positivas. Se a temperatura inicial é u(x, 0) = e^(-x^2), calcule u(x, t) para t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como a temperatura muda ao longo do tempo e do espaço. A equação é , onde e são constantes positivas. A temperatura inicial está distribuída como . Nosso objetivo é encontrar para qualquer tempo . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais parciais, especificamente a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para lidar com esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A equação combina a difusão de calor (representada por ) com um termo de decaimento . Isso significa que, além de a temperatura se espalhar no espaço, ela também está diminuindo ao longo do tempo devido ao termo de decaimento.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver. Aplicando a transformada de Fourier em relação à variável , temos:
Sabendo que , onde é a variável na transformada de Fourier, a equação fica:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial simples para . Podemos reescrevê-la como:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , que é a transformada de Fourier da condição inicial . Sabemos que:
Portanto,

Passo 6

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 7

Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:

Passo 8

A integral resultante é uma transformada inversa de Fourier de uma gaussiana, que sabemos que é outra gaussiana. Usando a fórmula:
onde , temos:

Passo 9

Simplificando os termos, obtemos:

Resposta

A solução para é dada por:

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