Seja a equação
onde
e
são constantes positivas. Se a temperatura inicial é
, calcule
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como a temperatura muda ao longo do tempo e do espaço. A equação é
, onde
e
são constantes positivas. A temperatura inicial está distribuída como
. Nosso objetivo é encontrar
para qualquer tempo
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais parciais, especificamente a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para lidar com esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A equação
combina a difusão de calor (representada por
) com um termo de decaimento
. Isso significa que, além de a temperatura se espalhar no espaço, ela também está diminuindo ao longo do tempo devido ao termo de decaimento.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver. Aplicando a transformada de Fourier em relação à variável
, temos:
Sabendo que
, onde
é a variável na transformada de Fourier, a equação fica:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial simples para
. Podemos reescrevê-la como:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
, que é a transformada de Fourier da condição inicial
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 7
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Passo 8
A integral resultante é uma transformada inversa de Fourier de uma gaussiana, que sabemos que é outra gaussiana. Usando a fórmula:
onde
, temos:
Passo 9
Simplificando os termos, obtemos:
Resposta
A solução para
é dada por: