Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares

Passo 1

Então, vamos resolver um problema sobre encontrar a menor distância entre dois pontos em um plano, mas usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de geometria no plano e cálculo diferencial, especialmente a fórmula para a distância infinitesimal em coordenadas polares, que é . Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho entre os pontos e usar o cálculo para minimizar a distância total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo x. A distância total entre dois pontos será a integral de ao longo do caminho que conecta esses pontos.

Passo 3

A expressão para em coordenadas polares é dada por . Para encontrar a menor distância, precisamos minimizar a integral dessa expressão entre os dois pontos, ou seja:
â
Aqui, representa como o raio muda em relação ao ângulo ao longo do caminho.

Passo 4

Para minimizar essa integral, usamos o cálculo de variações. Aplicando a condição de Euler-Lagrange para o problema, onde nossa função é , obtemos a equação diferencial que descreve o caminho de menor distância.

Passo 5

Resolvendo a equação de Euler-Lagrange para essa função, descobrimos que a solução é uma linha reta passando pelos dois pontos. Isso faz sentido, já que no plano euclidiano, o caminho mais curto entre dois pontos é uma linha reta, independentemente das coordenadas usadas.

Resposta

A menor distância entre os dois pontos no plano, calculada usando coordenadas polares, é simplesmente a linha reta que os conecta, cuja distância é a medida direta entre eles.

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