O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A constante de amortecimento critico
.
A constante de amortecimento critico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado ponto o. Esse sistema é composto por uma barra horizontal de massa
, uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. Precisamos encontrar a constante de amortecimento crítico
, sabendo que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que as distâncias
e
estão envolvidas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a frequência natural de sistemas rotativos e como calcular a constante de amortecimento crítico. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a frequência natural (
) de um sistema rotativo. A fórmula que relaciona a frequência natural com a constante elástica rotacional (
) e o momento de inércia (
) é:
Aqui,
é o momento de inércia do sistema em torno do ponto o, e
representa a “rigidez” do sistema em termos rotacionais.
Passo 3
Nossa meta é encontrar a constante de amortecimento crítico (
). Para sistemas rotativos, a constante de amortecimento crítico é dada por:
Então, para achar
, precisamos primeiro determinar o momento de inércia (
) do sistema.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia (
) do sistema. O momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada componente em relação ao ponto de rotação o.
Para cada componente, usamos a fórmula:
onde
é a massa e
é a distância do centro de massa ao ponto de rotação.
Vamos calcular para cada parte:
- Barra horizontal:
- Barra vertical:
- Corpo rígido:
Aqui, precisamos da distância
. Se a distância não foi fornecida, assumimos que o corpo está na extremidade das barras, então
.
Então:
Agora, somamos todos:
Passo 5
Agora que temos o momento de inércia total (
), podemos usar a fórmula da frequência natural para encontrar a constante elástica rotacional (
).
Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, podemos agora calcular a constante de amortecimento crítico (
) usando a fórmula:
Substituindo:
Primeiro multiplicamos:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Por fim, multiplicamos por 2:
Resposta
A constante de amortecimento crítico
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
A equação do movimento do sistema .
A equação do movimento do sistema
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
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O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
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