O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A constante de amortecimento critico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado ponto o. Esse sistema é composto por uma barra horizontal de massa , uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . Precisamos encontrar a constante de amortecimento crítico , sabendo que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que as distâncias e estão envolvidas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a frequência natural de sistemas rotativos e como calcular a constante de amortecimento crítico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a frequência natural ( ) de um sistema rotativo. A fórmula que relaciona a frequência natural com a constante elástica rotacional ( ) e o momento de inércia ( ) é:
Aqui, é o momento de inércia do sistema em torno do ponto o, e representa a “rigidez” do sistema em termos rotacionais.

Passo 3

Nossa meta é encontrar a constante de amortecimento crítico ( ). Para sistemas rotativos, a constante de amortecimento crítico é dada por:
Então, para achar , precisamos primeiro determinar o momento de inércia ( ) do sistema.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia ( ) do sistema. O momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada componente em relação ao ponto de rotação o.
Para cada componente, usamos a fórmula:
onde é a massa e é a distância do centro de massa ao ponto de rotação.
Vamos calcular para cada parte:
  1. Barra horizontal:
  1. Barra vertical:
  1. Corpo rígido:
Aqui, precisamos da distância . Se a distância não foi fornecida, assumimos que o corpo está na extremidade das barras, então .
Então:
Agora, somamos todos:

Passo 5

Agora que temos o momento de inércia total ( ), podemos usar a fórmula da frequência natural para encontrar a constante elástica rotacional ( ).
Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 6

Com o valor de encontrado, podemos agora calcular a constante de amortecimento crítico ( ) usando a fórmula:
Substituindo:
Primeiro multiplicamos:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Por fim, multiplicamos por 2:

Resposta

A constante de amortecimento crítico é aproximadamente .

Exercícios relacionados

O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
A equação do movimento do sistema .
O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares
Para uma seção circular de raio , sujeita a uma cortante , achar a tensão máxima de cisalhamento.