O sistema é composto por uma barra horizontal de massa mh=2 , kg; uma barra vertical de massa mv=1 , kg e um corpo rígido de massa m=0.5 , kg. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que a=0.5 , m e b=0.4 , m, encontre:
A constante de amortecimento critico Cc.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado ponto o. Esse sistema é composto por uma barra horizontal de massa , uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . Precisamos encontrar a constante de amortecimento crítico , sabendo que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que as distâncias e estão envolvidas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a frequência natural de sistemas rotativos e como calcular a constante de amortecimento crítico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a frequência natural ( fn = 12pi raizkI ) de um sistema rotativo. A fórmula que relaciona a frequência natural com a constante elástica rotacional ( ) e o momento de inércia ( ) é:
Aqui, é o momento de inércia do sistema em torno do ponto o, e representa a “rigidez” do sistema em termos rotacionais.

Passo 3

Nossa meta é encontrar a constante de amortecimento crítico ( Cc = 2 raizk cdot I ). Para sistemas rotativos, a constante de amortecimento crítico é dada por:
Então, para achar , precisamos primeiro determinar o momento de inércia ( ) do sistema.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia ( I = m cdot d^2 ) do sistema. O momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada componente em relação ao ponto de rotação o.
Para cada componente, usamos a fórmula:
Ih = mh cdot a^2 = 2 , kg cdot (0.5 , m)^2 = 2 cdot 0.25 = 0.5 , kg cdot m^2
onde Iv = mv cdot b^2 = 1 , kg cdot (0.4 , m)^2 = 1 cdot 0.16 = 0.16 , kg cdot m^2 é a massa e Ic = m cdot d^2 é a distância do centro de massa ao ponto de rotação.
Vamos calcular para cada parte:
  1. Barra horizontal:
Ic = 0.5 , kg cdot (0.64 , m)^2 approx 0.5 cdot 0.4096 approx 0.205 , kg cdot m^2
  1. Barra vertical:
Itotal = Ih + Iv + Ic = 0.5 + 0.16 + 0.205 = 0.865 , kg cdot m^2
  1. Corpo rígido:
Aqui, precisamos da distância . Se a distância não foi fornecida, assumimos que o corpo está na extremidade das barras, então .
Então:
Agora, somamos todos:

Passo 5

Agora que temos o momento de inércia total ( k = (2pi fn)^2 cdot I ), podemos usar a fórmula da frequência natural para encontrar a constante elástica rotacional ( k = (2pi cdot 15 , Hz)^2 cdot 0.865 , kg cdot m^2 ).
Rearranjando a fórmula:
2pi cdot 15 approx 94.248 , rad/s
Substituindo os valores:
k = (94.248)^2 cdot 0.865 approx 8885.93 cdot 0.865 approx 7683.56 , N cdot m/rad
Calculando:

Passo 6

Com o valor de Cc = 2 raizk cdot I encontrado, podemos agora calcular a constante de amortecimento crítico ( Cc = 2 raiz7683.56 , N cdot m/rad cdot 0.865 , kg cdot m^2 ) usando a fórmula:
7683.56 cdot 0.865 approx 6640.28
Substituindo:
raiz6640.28 approx 81.49
Primeiro multiplicamos:
Cc = 2 cdot 81.49 approx 162.98 , N cdot m cdot s/rad
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Por fim, multiplicamos por 2:

Resposta

A constante de amortecimento crítico é aproximadamente .

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