O sistema é composto por uma barra de comprimento L=0.9 , m e massa m=1 , kg. Na extremidade superior tem um corpo de massa mc=1 , kg. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é c=30 , Ns / m e aplicando as condições iniciais: theta0=0.1 , rad e omega0=0 , rad / s, encontre:
A equação do movimento do sistema theta(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo. Esse sistema é composto por uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, mais um peso de 1 kg na extremidade superior. A gente precisa encontrar a equação do movimento angular desse sistema, ou seja, como o ângulo varia com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, frequências naturais e amortecimento. Vamos precisar das fórmulas para movimento harmônico amortecido e entender como calcular os coeficientes envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a frequência natural do sistema. A frequência natural omegan = 2pi f é dada por 12 Hz. A frequência angular natural omegan = 2pi times 12 = 24pi, rad/s está relacionada à frequência em Hz pela fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o coeficiente de amortecimento zeta = c2raizI k . O amortecimento zeta = c2Iomegan é dado como 30 Ns/m. Para sistemas rotacionais, a relação entre o amortecimento, a massa e a frequência natural é dada por:
onde é o momento de inércia e é a constante elástica rotacional. Mas, para simplificar, vamos usar a relação que liga , e :
Precisamos calcular o momento de inércia do sistema.

Passo 4

O momento de inércia Ibarra = 13mL^2 para uma barra girando em torno de uma extremidade é:
Ipeso = mc L^2
E para o peso na extremidade:
I = 13(1, kg)(0,9, m)^2 + (1, kg)(0,9, m)^2 = 13(0,81) + 0,81 = 0,27 + 0,81 = 1,08, kgcdotm^2
Somando os dois:

Passo 5

Agora, podemos calcular zeta = c2Iomegan = 30, Ns/m2 times 1,08, kgcdotm^2 times 24pi, rad/s :
zeta = 302 times 1,08 times 24pi approx 302 times 1,08 times 75,398 approx 30162,452 approx 0,1847

Passo 6

Com theta(t) = theta0 e^-zeta omegan t ( cos(omegad t) + zeta omeganomegad sin(omegad t) ) calculado, podemos escrever a equação do movimento para um sistema subamortecido ( ):
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Vamos calcular omegad = 24pi raiz1 - (0,1847)^2 approx 24pi raiz1 - 0,0342 approx 24pi times 0,9829 approx 23,59pi, rad/s :

Passo 8

Aplicando as condições iniciais theta(t) = 0,1, e^-0,1847 times 24pi t cos(23,59pi t) e , a equação simplifica porque o termo com desaparece:

Resposta

A equação do movimento do sistema é:
theta(t) = 0,1, e^-0,1847 times 24pi, t cos(23,59pi, t)

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