O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
A equação do movimento do sistema
.
A equação do movimento do sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo. Esse sistema é composto por uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, mais um peso de 1 kg na extremidade superior. A gente precisa encontrar a equação do movimento angular desse sistema, ou seja, como o ângulo
varia com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, frequências naturais e amortecimento. Vamos precisar das fórmulas para movimento harmônico amortecido e entender como calcular os coeficientes envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a frequência natural do sistema. A frequência natural
é dada por 12 Hz. A frequência angular natural
está relacionada à frequência em Hz pela fórmula:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o coeficiente de amortecimento
. O amortecimento
é dado como 30 Ns/m. Para sistemas rotacionais, a relação entre o amortecimento, a massa e a frequência natural é dada por:
onde
é o momento de inércia e
é a constante elástica rotacional. Mas, para simplificar, vamos usar a relação que liga
,
e
:
Precisamos calcular o momento de inércia
do sistema.
Passo 4
O momento de inércia
para uma barra girando em torno de uma extremidade é:
E para o peso na extremidade:
Somando os dois:
Passo 5
Agora, podemos calcular
:
Passo 6
Com
calculado, podemos escrever a equação do movimento para um sistema subamortecido (
):
onde
é a frequência amortecida.
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Aplicando as condições iniciais
e
, a equação simplifica porque o termo com
desaparece:
Resposta
A equação do movimento do sistema é:
Exercícios relacionados
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
Considerando e
, encontre
(amortecimento do item a)
Considerando
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A constante de amortecimento critico .
A constante de amortecimento critico
Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares