O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
A equação do movimento do sistema .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo. Esse sistema é composto por uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, mais um peso de 1 kg na extremidade superior. A gente precisa encontrar a equação do movimento angular desse sistema, ou seja, como o ângulo varia com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, frequências naturais e amortecimento. Vamos precisar das fórmulas para movimento harmônico amortecido e entender como calcular os coeficientes envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a frequência natural do sistema. A frequência natural é dada por 12 Hz. A frequência angular natural está relacionada à frequência em Hz pela fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o coeficiente de amortecimento . O amortecimento é dado como 30 Ns/m. Para sistemas rotacionais, a relação entre o amortecimento, a massa e a frequência natural é dada por:
onde é o momento de inércia e é a constante elástica rotacional. Mas, para simplificar, vamos usar a relação que liga , e :
Precisamos calcular o momento de inércia do sistema.

Passo 4

O momento de inércia para uma barra girando em torno de uma extremidade é:
E para o peso na extremidade:
Somando os dois:

Passo 5

Agora, podemos calcular :

Passo 6

Com calculado, podemos escrever a equação do movimento para um sistema subamortecido ( ):
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Vamos calcular :

Passo 8

Aplicando as condições iniciais e , a equação simplifica porque o termo com desaparece:

Resposta

A equação do movimento do sistema é:

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O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
Considerando e , encontre (amortecimento do item a)
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A constante de amortecimento critico .
Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares