Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: y'' + 9y = 54x^2 e^(3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial ordinária . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares. Vamos precisar identificar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes complexas , sabemos que a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é , supomos que a solução particular tem a forma:
onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos equivalentes:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Agora que encontramos os coeficientes, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

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