Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial ordinária
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares. Vamos precisar identificar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes complexas
, sabemos que a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é
, supomos que a solução particular tem a forma:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos equivalentes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Agora que encontramos os coeficientes, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: