Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: y'' + 9y = 54x^2 e^(3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial ordinária . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares. Vamos precisar identificar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes complexas , sabemos que a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é , supomos que a solução particular tem a forma:
onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos equivalentes:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Agora que encontramos os coeficientes, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

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<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.17ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.89ex” height=“5.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1459 9675.2 2418”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 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629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,-709)”><g data-mml-node=“mtd”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“31.31ex” height=“3.006ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -975.7 13839.1 1328.5”><title>2xy - sen(x) + (x^2 + e^y) dy/dx = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“20.793ex” height=“2.181ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 9190.6 964”><title>y’’ - 2y’ + y = e^x ln(x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 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