Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: y'' - 2y' + y = e^x ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver a equação diferencial ordinária . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que atenda ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Como a raiz é de multiplicidade dupla, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , e já temos termos na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Aqui, e são funções que vamos determinar. Essa forma é escolhida porque o termo sugere que precisamos de termos logarítmicos na solução particular, além do fator exponencial .

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo , e na equação diferencial e igualando os termos, podemos resolver para e . No entanto, devido à complexidade, uma abordagem mais simples é utilizar o método de variação dos parâmetros ou supor uma forma adequada para . Para simplificar, vamos supor que:
Onde e são constantes a serem encontradas.
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos, encontramos que apenas o termo com permanece, o que nos leva a:
Portanto, . E os demais termos cancelam, deixando indeterminado. Como estamos procurando uma solução particular, podemos definir .

Passo 5

Agora, temos a solução particular:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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