Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver a equação diferencial ordinária
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que atenda ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Como a raiz
é de multiplicidade dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, e já temos termos
na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são funções que vamos determinar. Essa forma é escolhida porque o termo
sugere que precisamos de termos logarítmicos na solução particular, além do fator exponencial
.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação diferencial e igualando os termos, podemos resolver para
e
. No entanto, devido à complexidade, uma abordagem mais simples é utilizar o método de variação dos parâmetros ou supor uma forma adequada para
. Para simplificar, vamos supor que:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos, encontramos que apenas o termo com
permanece, o que nos leva a:
Portanto,
. E os demais termos cancelam, deixando
indeterminado. Como estamos procurando uma solução particular, podemos definir
.
Passo 5
Agora, temos a solução particular:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: