Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver a equação diferencial ordinária
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que atenda ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Como a raiz
é de multiplicidade dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, e já temos termos
na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são funções que vamos determinar. Essa forma é escolhida porque o termo
sugere que precisamos de termos logarítmicos na solução particular, além do fator exponencial
.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação diferencial e igualando os termos, podemos resolver para
e
. No entanto, devido à complexidade, uma abordagem mais simples é utilizar o método de variação dos parâmetros ou supor uma forma adequada para
. Para simplificar, vamos supor que:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos, encontramos que apenas o termo com
permanece, o que nos leva a:
Portanto,
. E os demais termos cancelam, deixando
indeterminado. Como estamos procurando uma solução particular, podemos definir
.
Passo 5
Agora, temos a solução particular:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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<html><head></head><body><div>Resolva o problema de valor inicial dado.</div>
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<html><head></head><body><div>(6 Pontos). Escreva a função <span class="math-inline ">
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.845ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 7003.6 1000”><title>h(x) = exp(g(x))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(576,0)”><path 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<html><head></head><body><div>(2 Pontos). Prove que a energia mecânica <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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