Resolva o problema de valor inicial:
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de terceira ordem. Isso significa que estamos procurando uma função
que, quando derivada três vezes, satisfaz a equação dada. O conteúdo que vamos usar envolve resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar. Além disso, vamos precisar das condições iniciais para encontrar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Vamos tentar valores inteiros para
. Testando
:
Então,
é raiz. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, obtemos:
Resolvendo
:
Então, as raízes são
, todas reais e distintas.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
, tentamos uma solução do tipo:
Onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condi�es iniciais para encontrar as constantes
:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
- Da equação (1):
- Da equação (2):
- Da equação (3):
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (2) de (3):
Resolvendo este sistema:
- Da primeira nova equação:
Substituindo na segunda nova equação:
Então:
E de (1):
Passo 9
Substituindo as constantes na solução geral:
Simplificando, podemos reescrever a solução de forma equivalente à encontrada na resposta fornecida.
Resposta
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com
Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função: