Resolva o problema de valor inicial:
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de terceira ordem. Isso significa que estamos procurando uma função que, quando derivada três vezes, satisfaz a equação dada. O conteúdo que vamos usar envolve resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar. Além disso, vamos precisar das condições iniciais para encontrar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Vamos tentar valores inteiros para . Testando :
Então, é raiz. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, obtemos:
Resolvendo :
Então, as raízes são , todas reais e distintas.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é , tentamos uma solução do tipo:
Onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condi�es iniciais para encontrar as constantes :

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da equação (1):
  • Da equação (2):
  • Da equação (3):
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (2) de (3):
Resolvendo este sistema:
  • Da primeira nova equação:
Substituindo na segunda nova equação:
Então:
E de (1):

Passo 9

Substituindo as constantes na solução geral:
Simplificando, podemos reescrever a solução de forma equivalente à encontrada na resposta fornecida.

Resposta

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com
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