Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método das Transformadas de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para
(a transformada de
), e depois aplicar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, isolamos
:
Vamos simplificar o denominador. Fatorando
:
Então:
Passo 4
Agora, efetuamos a decomposição em frações parciais para facilitar a obtenção da transformada inversa. Vamos expressar
como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para os coeficientes
, encontramos:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:
Aplicando isso, temos:
Resposta
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Resposta: .
Resposta:
Resolva o problema de valor inicial:
Resposta:
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