Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' + y' - 2y = 2t ; y(0) = 0, y'(0) = 2.
Resposta: y(t) = -1/2 - t - 1/2 * e^(-2t) + e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método das Transformadas de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para (a transformada de ), e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, isolamos :
Vamos simplificar o denominador. Fatorando :
Então:

Passo 4

Agora, efetuamos a decomposição em frações parciais para facilitar a obtenção da transformada inversa. Vamos expressar como:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para os coeficientes , encontramos:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:
Aplicando isso, temos:

Resposta

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