Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' - 2y' + y = t e^t ; y(0) = 0, y'(0) = 0.
Resposta: y(t) = (1/6) t^3 e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. O que temos aqui é uma equação do tipo com condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação e, depois, resolver a equação algébrica resultante para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de é e de é . Aplicando isso na equação, temos:
Substituindo as transformadas, considerando que e , ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação para resolver para :
Fatorando :
Percebemos que , então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Finalmente, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para :
Sabemos que . Aplicando isso aqui com e :

Resposta

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