Seja f(x)=llx-2, & se x<5, m x+2, & se x >= 5 Calcule m in R para que exista lim x 5 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x - 2, & se x < 5, m x + 2, & se x >= 5
A questão quer que a gente encontre o valor de tal que o limite de quando se aproxima de 5 exista. Basicamente, precisamos garantir que os dois lados (esquerdo e direito) desse limite coincidam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 5^- f(x) = limx to 5^- (x - 2) = 5 - 2 = 3 se aproxima de 5 vindo dos menores valores (x < 5). Para isso, usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando limx to 5^+ f(x) = limx to 5^+ (m x + 2) = m cdot 5 + 2 = 5m + 2 se aproxima de 5 vindo dos maiores valores (x ≥ 5). Aqui, usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita é .

Passo 4

Para que o limite de 3 = 5m + 2 exista quando se aproxima de 5, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Assim, igualamos as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 3 = 5m + 2 3 - 2 = 5m 1 = 5m m = 15 :

Resposta

O valor de que faz com que o limite de quando se aproxima de 5 exista é .

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