Resolva os problemas de valor inicial: { x1' = x1 + x2, x2' = -x1 + x2 } com x1(0) = 1 ; x2(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. O enunciado nos dá duas equações com derivadas de e , e também nos dá valores iniciais para essas funções quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e matrizes, especialmente trabalhando com autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada. Temos:
Isso pode ser representado em forma matricial como , onde:

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando isso:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, temos dois autovalores complexos: e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais com parte real e funções trigonométricas para lidar com a parte imaginária. A forma geral é:
Onde é a parte real dos autovalores e é a parte imaginária. No nosso caso, e .

Passo 6

Substituindo e na solução geral, temos:
Aqui, e são vetores constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais . Quando :
Portanto, .

Passo 8

Para encontrar , derivamos a solução geral e aplicamos a condição inicial para as derivadas. A derivada de é:
Aplicando :
Substituindo na derivada:
Como , temos:

Passo 9

Agora que encontramos e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do sistema é:

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Resolva o problema de valor inicial:
y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0
Resolva o problema de valor inicial y'' + y = 4x + 10 sen(x), y(pi) = 0 e y'(0) = 2.
Resolva os problemas de valor inicial: { x1' = x1 + x2, x2' = x1 + x2, x3' = -x3 } com x1(0)=0 ; x2(0)=1 ; x3(0)=-1.
Resolva o problema de valor inicial x'' + x = sect ; x(0) = 1, x'(0) = 2.