Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. O enunciado nos dá duas equações com derivadas de e , e também nos dá valores iniciais para essas funções quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e matrizes, especialmente trabalhando com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada. Temos:
Isso pode ser representado em forma matricial como , onde:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores () da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando isso:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, temos dois autovalores complexos: e .
Passo 5
Com os autovalores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais com parte real e funções trigonométricas para lidar com a parte imaginária. A forma geral é:
Onde é a parte real dos autovalores e é a parte imaginária. No nosso caso, e .
Passo 6
Substituindo e na solução geral, temos:
Aqui, e são vetores constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais . Quando :
Portanto, .
Passo 8
Para encontrar , derivamos a solução geral e aplicamos a condição inicial para as derivadas. A derivada de é:
Aplicando :
Substituindo na derivada:
Como , temos:
Passo 9
Agora que encontramos e , substituímos de volta na solução geral: