Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Neste exercício, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente a equação de Bernoulli, que é uma equação não linear que pode ser transformada em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para identificar a forma padrão da equação de Bernoulli. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
onde
,
e
.
Passo 3
A equação de Bernoulli tem a forma:
Para resolver, fazemos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Agora, dividimos todos os termos por
:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Esta é uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 7
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Para resolver a integral, fazemos a substituição
. Após integração, obtemos:
Portanto:
Passo 10
Lembrando que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Elevando ambos os lados à potência
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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(e)
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(g)
(g)
Usar (a) para calcular