Resolva o problema de valor inicial .

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Neste exercício, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente a equação de Bernoulli, que é uma equação não linear que pode ser transformada em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para identificar a forma padrão da equação de Bernoulli. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
onde , e .

Passo 3

A equação de Bernoulli tem a forma:
Para resolver, fazemos a substituição . No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo na equação original:
Agora, dividimos todos os termos por :
Lembrando que , temos:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Esta é uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde e .

Passo 7

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.
Para resolver a integral, fazemos a substituição . Após integração, obtemos:
Portanto:

Passo 10

Lembrando que , então:
Resolvendo para :

Passo 11

Agora, aplicamos a condição inicial :
Elevando ambos os lados à potência :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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