Resolva o problema de valor inicial:
y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de quarta ordem:
com as condições iniciais todas iguais a zero: . Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, já que ela envolve a função delta de Dirac, que é bem tratada nesse método.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações complicadas. A fórmula da Transformada de Laplace para uma função é:

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, temos:
Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada é:
Como todas as condições iniciais são zero, simplifica para:
porque .

Passo 4

Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Precisamos simplificar . Vamos fatorar :
Então,

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Vamos achar os valores de A, B, C e D substituindo valores de :
  • Para :
  • Para :
Para encontrar C e D, expandimos a equação:
Agrupando os termos e igualando os coeficientes, encontramos:

Passo 8

Agora, temos:
Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:

Passo 9

Aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
Podemos simplificar um pouco mais, se quiser:

Resposta

A solução do problema é:

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Resolva o problema de valor inicial y'' + y = 4x + 10 sen(x), y(pi) = 0 e y'(0) = 2.
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