Use o quociente
para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência
é estritamente crescente ou decrescente usando o quociente
. Para isso, vamos precisar lidar com frações e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o quociente
. Substituindo
por
, fica assim:
Passo 3
Agora, simplificamos essa fração dividindo as duas frações:
Passo 4
Vamos simplificar um pouco mais. Sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Para facilitar a visualização, vamos dividir numerador e denominador por
:
À medida que
cresce,
fica cada vez menor, praticamente zero. Então, a expressão fica próxima de:
Passo 6
Isso mostra que o quociente
tende a 1 conforme
aumenta. Mas para saber se está crescendo ou decrescendo, precisamos ver se esse quociente é maior ou menor que 1.
Vamos reescrever o quociente original:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
Como
para todo
, a sequência
é estritamente crescente.