Use o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{2^n / (1 + 2^n)}_{n=1}^{+infinity}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência é estritamente crescente ou decrescente usando o quociente . Para isso, vamos precisar lidar com frações e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o quociente . Substituindo por , fica assim:

Passo 3

Agora, simplificamos essa fração dividindo as duas frações:

Passo 4

Vamos simplificar um pouco mais. Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Para facilitar a visualização, vamos dividir numerador e denominador por 2^n:
À medida que n cresce, fica cada vez menor, praticamente zero. Então, a expressão fica próxima de:

Passo 6

Isso mostra que o quociente tende a 1 conforme n aumenta. Mas para saber se está crescendo ou decrescendo, precisamos ver se esse quociente é maior ou menor que 1.
Vamos reescrever o quociente original:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Resposta

Como para todo n, a sequência é estritamente crescente.

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