Resolva os Problemas em questão
a) Considere um sistema de um grau de liberdade com as seguintes propriedades constantes, a saber:
m=18 kg ; k=70 N / m ; c=0,90 Ns / m. Determine
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico de;
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola-amortecedor com massa , constante elástica e coeficiente de amortecimento . O conteúdo aqui é de vibrações mecânicas, e para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas fórmulas que relacionam massa, mola e amortecimento para encontrar o fator de amortecimento, frequências e decremento logarítmico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o fator de amortecimento zeta = c2 raizk m . Essa fórmula é:
zeta = 0,902 raiz70 times 18
Aqui, raiz70 times 18 = raiz1260 approx 35,49 é o coeficiente de amortecimento, zeta = 0,902 times 35,49 = 0,9070,98 approx 0,0127 é a constante da mola e é a massa. A gente vai calcular isso passo a passo:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência natural omegan = raizkm e a frequência natural amortecida omegan = raiz7018 approx raiz3,89 approx 1,97 , rad/s .
A frequência natural omegad = omegan raiz1 - zeta^2 é dada por:
omegad approx 1,97 times raiz1 - (0,0127)^2 approx 1,97 times raiz0,99984 approx 1,97 times 0,99992 approx 1,97 , rad/s
Substituindo os valores:
A frequência natural amortecida é:
Como ,

Passo 4

Vamos calcular o decremento logarítmico de. A fórmula é:
de
Substituindo :

Passo 5

Por fim, vamos achar a razão entre duas amplitudes consecutivas. Essa razão é dada por:
An+1An = e^-de
Usando An+1An = e^-0,0399 approx 0,961 :

Resposta

i) O fator de amortecimento é aproximadamente .
ii) A frequência natural é e a frequência natural amortecida é .
iii) O decremento logarítmico é .
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas é aproximadamente .

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