Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a técnica de separação de variáveis. A gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso vai envolver separar as variáveis
e
, integrar ambos os lados e depois aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Queremos colocar tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Então, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados. A integral de
é uma função que a gente conhece: é a função arco-tangente. Então,
Do mesmo jeito,
Passo 4
Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos combinar as constantes de integração
e
em uma única constante
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Substituindo o valor de
de volta na equação original:
Para encontrar
, vamos usar a identidade da tangente da soma de dois ângulos:
Então, temos: