Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: d/y = (y^2 + 1) / (x^2 + 1), y(0) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a técnica de separação de variáveis. A gente tem a equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1. Isso vai envolver separar as variáveis y e x, integrar ambos os lados e depois aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Queremos colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro. Então, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados. A integral de é uma função que a gente conhece: é a função arco-tangente. Então,
Do mesmo jeito,

Passo 4

Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos combinar as constantes de integração e em uma única constante C. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que quando x = 0, . Substituindo na equação:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Substituindo o valor de C de volta na equação original:
Para encontrar y, vamos usar a identidade da tangente da soma de dois ângulos:
Então, temos:

Resposta

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