Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial, que é meio que uma maneira de relacionar uma função com sua derivada. No nosso caso, a equação é:
O que precisamos fazer é separar os termos com
de um lado e os termos com
do outro, para então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar tudo que tem
com
e tudo que tem
com
. Então, multiplicamos ambos os lados da equação por
e por
:
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para a integração.
Passo 3
Vamos integrar os dois lados agora. A integração é basicamente o processo inverso da derivada, e ajuda a encontrar a função original a partir de sua derivada.
Integramos o lado esquerdo com relação a
:
E o lado direito com relação a
:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, juntamos as integrais e simplificamos as constantes. Vamos chamar
, já que são apenas constantes:
Precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial
. Substituímos
e
na equação:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de
de volta na equação:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
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