Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial, que é meio que uma maneira de relacionar uma função com sua derivada. No nosso caso, a equação é:
O que precisamos fazer é separar os termos com de um lado e os termos com do outro, para então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar tudo que tem com e tudo que tem com . Então, multiplicamos ambos os lados da equação por e por :
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para a integração.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados agora. A integração é basicamente o processo inverso da derivada, e ajuda a encontrar a função original a partir de sua derivada.
Integramos o lado esquerdo com relação a :
E o lado direito com relação a :
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, juntamos as integrais e simplificamos as constantes. Vamos chamar , já que são apenas constantes:
Precisamos encontrar o valor de usando a condição inicial . Substituímos e na equação:

Passo 5

Agora, substituímos o valor de de volta na equação:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

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