Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: x y' = y + 2 x^2 y, y(1) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. O enunciado que temos é:
Aqui, nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação das variáveis. Podemos dividir ambos os lados por :
Isso simplifica para:
Aqui, observamos que a equação está na forma , o que é ideal para separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Vamos juntar as constantes de integração em uma só constante :
Agora, para resolver para , vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos chamar de uma nova constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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