Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. O enunciado que temos é:
Aqui, nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação das variáveis. Podemos dividir ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Aqui, observamos que a equação está na forma
, o que é ideal para separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Vamos juntar as constantes de integração em uma só constante
:
Agora, para resolver para
, vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos chamar
de uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: