Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
, com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. Temos:
Vamos rearranjar os termos para colocar todas as expressões envolvendo
de um lado e as de
do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
e por
para isolar
.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Agora substituímos o valor de
de volta na equação:
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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