Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é: , com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar e . Temos:
Vamos rearranjar os termos para colocar todas as expressões envolvendo de um lado e as de do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para isolar e por para isolar .

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é , e a integral de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Agora substituímos o valor de de volta na equação:
Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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