Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, a gente tem um problema de valor inicial aqui: resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria envolvida é Equações Diferenciais, especificamente métodos para resolver equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar os dois lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para resolver
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 7
Substituímos o valor de
de volta na equação de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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.
Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo: