Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão nos dá uma equação diferencial:
E nos pede para verificar se essa equação é exata. Se for, precisamos encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função tal que:
Ou seja, se .

Passo 3

Vamos identificar as funções e na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, comparamos e :
Como , a condição para a exatidão não é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;