Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão nos dá uma equação diferencial:
E nos pede para verificar se essa equação é exata. Se for, precisamos encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Ou seja, se
.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, comparamos
e
:
Como
, a condição para a exatidão não é satisfeita.
Resposta
A equação diferencial não é exata.
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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