Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. A gente vai verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral usando um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e . Aqui, e . Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , que aparece porque a integração em relação a pode introduzir uma função arbitrária de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso simplifica para:
Integrando, encontramos:
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta em :
Para a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 3:
Já que é apenas outra constante, podemos renomear como .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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