Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. A gente vai verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral usando um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
. Aqui,
e
. Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, que aparece porque a integração em relação a
pode introduzir uma função arbitrária de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso simplifica para:
Integrando, encontramos:
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta em
:
Para a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 3:
Já que
é apenas outra constante, podemos renomear
como
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.