Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que temos aqui. Temos um problema de valor inicial, que basicamente significa que queremos encontrar uma função que resolve a equação diferencial dada e que também passa por um ponto específico. A equação que nos foi dada é:
E a condição inicial é .
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma que lida com equações não lineares chamadas de equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Dividindo todos os termos por , temos:
Essa é uma equação diferencial de Bernoulli na forma padrão:
Onde, no nosso caso, , e .

Passo 3

A próxima etapa para resolver uma equação de Bernoulli é fazer uma substituição que nos permite transformar a equação em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão para :
Como , então . Substituindo isso na equação:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de . A próxima etapa é encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para resolver para :

Passo 7

Lembrando que , podemos substituir de volta:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 9

Substituindo o valor de de volta na expressão para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral. ;
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.