Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que temos aqui. Temos um problema de valor inicial, que basicamente significa que queremos encontrar uma função que resolve a equação diferencial dada e que também passa por um ponto específico. A equação que nos foi dada é:
E a condição inicial é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma que lida com equações não lineares chamadas de equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
. Dividindo todos os termos por
, temos:
Essa é uma equação diferencial de Bernoulli na forma padrão:
Onde, no nosso caso,
,
e
.
Passo 3
A próxima etapa para resolver uma equação de Bernoulli é fazer uma substituição que nos permite transformar a equação em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão para
:
Como
, então
. Substituindo isso na equação:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de
. A próxima etapa é encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 7
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 9
Substituindo o valor de
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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