Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. A equação que temos é:
Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se a equação dada se encaixa nessa categoria. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial. Geralmente, uma equação diferencial pode ser escrita na forma:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais. Se forem, a equação é exata.
Vamos calcular:
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a equação é de fato exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos encontrar uma função
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Vamos resolver a integral:
Fazendo substituição
, então
. Adaptando a integral:
Então, temos:
Passo 7
Agora, para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
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