Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. A equação que temos é:
Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se a equação dada se encaixa nessa categoria. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial. Geralmente, uma equação diferencial pode ser escrita na forma:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais. Se forem, a equação é exata.
Vamos calcular:

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a equação é de fato exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos encontrar uma função tal que:
Começamos integrando em relação a :
Vamos resolver a integral:
Fazendo substituição , então . Adaptando a integral:
Então, temos:

Passo 7

Agora, para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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