Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral. y e^x dx + e^x dy = 0

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . O que a questão pede é pra verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que vão multiplicar o e o . Vamos chamar e . Assim, nossa equação fica na forma .

Passo 3

Agora, pra saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja, verificar se .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial F(x, y) tal que . Para encontrar F, vamos integrar M em relação a x:
Aqui, é uma função que depende só de y.

Passo 6

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados