Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . O que a questão pede é pra verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que vão multiplicar o e o . Vamos chamar e . Assim, nossa equação fica na forma .

Passo 3

Agora, pra saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificar se .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que . Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante qualquer.

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