Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. O que a questão pede é pra verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que vão multiplicar o
e o
. Vamos chamar
e
. Assim, nossa equação fica na forma
.
Passo 3
Agora, pra saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificar se
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
. Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante qualquer.
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
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;
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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