Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma equação diferencial de valor inicial
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação utilizando técnicas de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos de substituição e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Observamos que a equação é não linear devido ao termo
e à presença de
. Para facilitar, vamos tentar uma substituição que transforme a equação em uma forma mais manejável. Vamos definir
. Assim, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação reorganizada na expressão de
:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
Para resolver essa equação, utilizamos o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
A equação se torna:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Lembrando que
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a solução é:
Tomando a raiz de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.