Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma equação diferencial de valor inicial com a condição inicial . Vamos resolver essa equação utilizando técnicas de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos de substituição e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Observamos que a equação é não linear devido ao termo e à presença de . Para facilitar, vamos tentar uma substituição que transforme a equação em uma forma mais manejável. Vamos definir . Assim, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação reorganizada na expressão de :
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em :
Para resolver essa equação, utilizamos o fator integrante , que é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
A equação se torna:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Lembrando que :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Portanto, a solução é:
Tomando a raiz de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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